04．補間・スプライン

11．LERPで途中を作ろう

LERP（線形補間）は、開始値 $A$ と終了値 $B$ の間を、補間係数 $t$ を使って求める方法です。

Q48．補間係数 $t$ の意味を確認しよう

$P=(1-t)A+tB$ について対応させてください。

$t$	$P$
$t=0$	＿＿＿＿＿＿
$t=0.5$	＿＿＿＿＿＿
$t=1$	＿＿＿＿＿＿

選択肢：A・AとBのちょうど中間・B

答え

• $t=0$ → A
• $t=0.5$ → AとBのちょうど中間
• $t=1$ → B

Q49．LERPを計算しよう

開始値 $A=20$、終了値 $B=60$、$t=0.25$ とします。$P=(1-t)A+tB$ で求めた値はいくつですか。

答え：＿＿＿＿＿＿

答え

$P=0.75\times20+0.25\times60=30$

Q50．LERPが使える場面を選ぼう

LERPを利用しやすい例をすべて選んでください。

• A．キャラクターの位置をA地点からB地点へ補間する
• B．カメラの距離を徐々に変える
• C．値を0から1へ徐々に変える
• D．AABBの最近点を直接求める

答え

A・B・C

LERPは「2つの値の間」を作る処理なので、位置だけでなくさまざまな数値に使えます。

Q51．複数点をLERPだけでつなぐと？

複数の制御点を順番に直線補間してつないだ場合、経路はどのようになりやすいですか。

• A．折れ線になる
• B．必ず円になる
• C．必ず滑らかな曲線になる
• D．すべての点が同じ位置になる

答え

A．折れ線になる

そこで、複数点を滑らかな曲線でつなぎたいときにスプラインを使います。

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12．スプラインは種類と使いどころを押さえよう

スプラインでは、長い公式を暗記するより、どんな情報から曲線を作るのか・何に向いているのかを押さえましょう。

Q52．スプラインの種類と使いどころ

次の特徴・使いどころに合う曲線を対応させてください。

特徴・主な使いどころ	曲線
始点・終点と制御点で形を調整しやすく、UIの軌跡や弾道などで使われる	＿＿＿＿＿＿
始点・終点と、それぞれの接線ベクトルで進行方向を指定する	＿＿＿＿＿＿
制御点を通る滑らかな経路を作りやすく、敵の移動経路やカメラレールに向く	＿＿＿＿＿＿
多数の制御点から滑らかな曲線を作り、道路や長いコースなどに向く	＿＿＿＿＿＿
制御点に重みを持たせられ、CADやモデリングでよく使われる	＿＿＿＿＿＿

選択肢：ベジェ・エルミート・Catmull-Rom・Bスプライン・NURBS

答え

• UIの軌跡や弾道 → ベジェ
• 接線ベクトルで方向を指定 → エルミート
• 敵の経路やカメラレール → Catmull-Rom
• 道路や長いコース → Bスプライン
• CADやモデリング → NURBS

Q53．XMVectorCatmullRom の引数を確認しよう

DirectXMathでは、Catmull-Romスプライン上の位置を次のように求められます。

XMVECTOR p = XMVectorCatmullRom(P0, P1, P2, P3, t);

穴埋めしてください。

• P0～P3：4個の＿＿＿＿＿＿
• t：曲線区間上の＿＿＿＿＿＿を表す値
• 通常の t の範囲：＿＿＿＿＿＿ ～ ＿＿＿＿＿＿

答え

• P0～P3：4個の制御点
• t：曲線区間上の位置を表す値
• t：0 ～ 1

Q54．Catmull-Romで実際に求める区間は？

XMVectorCatmullRom(P0, P1, P2, P3, t) について対応させてください。

条件	位置・役割
t = 0	＿＿＿＿＿＿
t = 1	＿＿＿＿＿＿
P0 と P3	＿＿＿＿＿＿

選択肢：P1・P2・P1へ入る向きとP2から出る向きを決めるために使う

答え

• t = 0 → P1
• t = 1 → P2
• P0 と P3 → P1へ入る向きとP2から出る向きを決めるために使う

つまり、4点を渡して実際に求める曲線区間は P1～P2 です。

Q55．どの曲線ができる？

同じ4点 P0, P1, P2, P3 を XMVectorCatmullRom(P0, P1, P2, P3, t) に渡し、t を0から1まで変化させました。実際に描かれるCatmull-Romの区間をA～Dから選んでください。

• A
• B
• C
• D

答え

C

t=0 でP1から始まり、t=1 でP2へ到達し、P0・P3の影響を受けて滑らかに曲がります。

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13．最後に整理しよう

Q56．ゲームでやりたいことと数学を対応させよう

ゲームでやりたいこと	使う数学・処理
敵までの方向を求めたい	＿＿＿＿＿＿
2点間の距離を求めたい	＿＿＿＿＿＿
敵が正面にいるか調べたい	＿＿＿＿＿＿
左右判定や法線を扱いたい	＿＿＿＿＿＿
モデルの移動・回転・拡大縮小をまとめたい	＿＿＿＿＿＿
フレームレートに依存しない速度で動かしたい	＿＿＿＿＿＿
球からAABB上の最近点を求めたい	＿＿＿＿＿＿
2点の間の値を作りたい	＿＿＿＿＿＿
制御点を通る滑らかな経路を作りたい	＿＿＿＿＿＿

選択肢：差ベクトル・ベクトルの長さ・内積・外積・行列・DeltaTime・clamp・LERP・Catmull-Rom

答え

• 敵までの方向 → 差ベクトル
• 2点間の距離 → ベクトルの長さ
• 正面にいるか → 内積
• 左右判定や法線 → 外積
• 移動・回転・拡大縮小をまとめる → 行列
• フレームレートに依存しない移動 → DeltaTime
• AABB上の最近点 → clamp
• 2点間の値 → LERP
• 制御点を通る滑らかな経路 → Catmull-Rom

このワークを一通り解いて、間違えた問題の理由まで確認できれば、前期に扱った数学の主要部分を一周したことになります。